《重生後我的學霸人設保住了》 115

牛環

情形二,

存在Rn中的非零向量α不是A的特征向量,則α,Aα線性無關,因而存在可逆實方陣

Q=

(α,Aα,*,…,*)滿足AQ關於0,B為右對角,*為左對角的二階矩陣.

其中B為n-1階實方陣.

由tr(A)=

0,得tr(B)=0.

然後由歸納假設,存在可逆實方陣R,使得R^(-1)BR的對角元素都是0.

P

=

Q

diag(1,R),則P^(-1)AP的對角元素都是0.引理獲證.

現在對於任意n階實方陣A,令A0=tr(A)I/n

,則tr(A-A0)=0.

根據引理可知,存在可逆實方陣P,使得B=

P^(-1)(A-

A0)P的對角元素都是0.

設B=L U,L,U

分別是嚴格下、上三角方陣,則

L,U

都是冪零方陣.

於是A

=

A

PBP^(-1)=

A0 A1 A2,

其中A0是純量方陣,A1=

PLP^(-1)和A2=

PUP^(-1)

都是冪零方陣.

由此得證.

...

做到後麵幾題,宋挽才隱隱感覺到決賽卷的難度,和初賽卷比確實難了不少。

嗯,確實不一樣的感覺。

做題關鍵就是要理清思路,通常題就是看上去複雜,實際上並不難。

就比如下麵這道題。

“設函數列{fn(z)}在區域G上解析,且在G中內閉一致收斂於函數f(z).證明:

1.若

f(z)不恒為零,l是G內可求長的簡單閉曲線,其內部屬於G,且不經過f(z)的零點.則存在正整數N,使得當n≥N時,在l的內部fn(z)和f(z)有相同個數的零點;

2.若

{fn(z)}在區域G內還是單葉的,f(z)不為常數,則f(z)在G內單葉解析.”

...

有些人就覺得這種題看上去就好複雜,怎麼下手都不知道。

其實,這題說複雜隻不過是表麵上覆雜,隻要知道幾個定理,用反證法就能證出來。

就拿第一問來證明.

由Weierstrass

定理,f(z)在G內解析.因f(z)在l上不為零,

所以在z屬於l的條件下,min|f(z)|

=m>0.

又{fn(z)}

在l上一致收斂到f(z),存在正整數N,使得當n≥N時,在l上有|fn(z)

-

f(z)|

<m,

即當n≥N時,在l上有|fn(z)

-

f(z)|

<|f(z)|.

由Rouche定理可以知道,在l的內部,fn(z)和

f(z)有相同個數的零點.

由此得證.

...

有時候的證明題,反證比正證更好用.

看這道題的第二問,很顯然用反證法更簡單.

若f(z)在G內不是單葉的,那麼在G內至少存在兩點z1和z2(z1

≠z2)

使得

f(z1)

=

f(z2).

令Fn(z)

=

fn(z)

-f(z1),

則{Fn(z)}在G內內閉一致收斂於不恒為零的解析函數F(z)

=

f(z)

-

f(z1).

在G內分別以z1和z2為心,作不交且外離的兩個小圓:

C1:|z-z1|=r1.

C2:|z-z1|=r2.

由第1部分結論,存在正整數N,使當n≥N時,

Fn(z)在C1與C2的內部與F(z)有相同個數的零點,

即在C1與C2內分別存在z1*與z2*,使

f(z1*)

=

fn(z2*)

=

fn(z1).

這與

fn(z)在G內單葉矛盾.

由此得證.

...

這次決賽題倒是多了幾道題目,宋挽將答題卡填滿後隻剩半個多小時。

考試結束的鈴聲一響,考生們有氣無力地起身,喪屍一般地離場。

宋挽真心覺得,他們現在的精神狀態不太好,以往考完都是激烈的討論,這次明顯話變少了。

結束回學校的路上,車裡的氛圍更是壓抑到了極點。

說實話,宋挽還真不太適應他們這種狀態,感覺像是被吸了精氣。

連蘇子惠都變得不那麼活潑了,更別說林思羽二人。

宋挽見狀也保持沉默,安安靜靜看向車窗外快速移動的事物,現在的她也是用腦過度,急需拯救一下下。

回寢室的路上,蘇子惠走著走著,莫名其妙地撲哧一下笑了起來。

林思羽頓時轉身倒著走路,雙手環抱對著她,“怎麼?做題做傻了。”

也不知道怎麼回事,兩人麵麵相覷,林思羽說完頓時也跟著她笑出了聲。

“你別笑,噗哈哈哈,你笑我也想笑哈哈哈。”

宋挽跟郭媛媛默默對視了一眼,眼神表示這倆人真傻了?

“哈哈哈,不行了,我越想越想笑。”蘇子惠直接捧著肚子笑得起不來,“這次的題就跟耍猴似的,我真是哈哈哈哈。”

“就那什麼,那道題哈哈哈,單位元的交換環,一元多項式環。”

“我當時一看到就懵了,腦子裡想的全是牛鼻子上戴的那個環,一環套一環哈哈哈。”

這個題宋挽倒還記得,是一個證明函數在某環中可逆且未知數前的係數a...an均為R中的冪零元。

這題先證充分性,得出f(x)在R[x]中可逆。

但是證明必要性就要先證明一個論斷,證明出a不是冪零元,然後R的零理想屬於S,因此S非空。

S按照集合的包含關係成為一個偏序集,任取S的一個鏈(全序子集)。

再根據Zorn引理,偏序集S有極大元P,然後證明P為R的素理想,後麵證明必要性,涉及到自然同態η以及誘導出來的像。

因為P為R的素理想,所以R/P下的像為整環,即f(x)在自然同態η下的像是整環上的可逆多項式,即為R在自然同態η下的像中的可逆元。

從而可以得出a在自然同態η下的像為0,並且ai屬於P(1≤i≤n),故ai包含在R的所有素理想中,所以ai為冪零元。

雖然說是這麼說,但其中涉及的內容卻很多,還需要各種轉換,算是決賽卷中較難的一道題了

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